\section{代数与几何}

	\begin{ti}
		已知曲面 $z = x^{2} + y^{2}$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2x + 2y + z - 1 = 0$，则点 $P$ 的坐标是\kuo.

		\twoch{$(1,-1,2)$}{$(-1,1,2)$}{$(1,1,2)$}{$(-1,-1,2)$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		过点 $P(2,0,3)$ 且与直线 $\begin{cases}
			x - 2y + 4z - 7 = 0,\\
			3x + 5y - 2z + 1 = 0
		\end{cases}$ 垂直的平面的方程是\kuo.

		\onech{$(x-2) - 2(y-0) + 4(z-3) = 0$}{$3(x-2) + 5(y-0) - 2(z-3) = 0$}{$-16(x-2) + 14(y-0) + 11(z-3) = 0$}{$-16(x+2) + 14(y-0) + 11(z-3) = 0$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知 $|\bm a| = 1$，$|\bm b| = \sqrt{2}$，且 $( \widehat{ \bm a, \bm b } ) = \frac{\uppi}{4}$，则 $|\bm a + \bm b| = $\kuo.

		\fourch{$1$}{$1 + \sqrt{2}$}{$2$}{$\sqrt{5}$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		曲线 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 与 $x^{2} + y^{2} = 2az(a > 0)$ 的交线是\kuo.

		\fourch{抛物线}{双曲线}{圆}{椭圆}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		若非零向量 $\bm a, \bm b$ 满足关系式 $|\bm a - \bm b| = |\bm a + \bm b|$，则必有\kuo.

		\twoch{$\bm a - \bm b = \bm a + \bm b$}{$\bm a = \bm b$}{$\bm a \cdot \bm b = 0$}{$\bm a \times \bm b = \bm 0$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		若 $\bm a \perp \bm b$，$\bm a, \bm b$ 均为非零向量，$x$ 是非零实数，则有\kuo.

		\twoch{$|\bm a + x \bm b| > |\bm a| + |x| |\bm b|$}{$|\bm a - x \bm b| < |\bm a| - |x| |\bm b|$}{$|\bm a + x \bm b| > |\bm a|$}{$|\bm a - x \bm b| < |\bm a|$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		在曲线 $x = t, y = -t^{2}, z = t^{3}$ 的所有切线中，与平面 $x + 2y + z = 4$ 平行的切线\kuo.

		\twoch{只有 $1$ 条}{只有 $2$ 条}{至少有 $3$ 条}{不存在}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		两条平行直线
		\begin{align*}
			L_{1}&: \begin{cases}
				x = 1 + t,\\
				y = -1 + 2t,\\
				z = t,
			\end{cases},\\
			L_{2}&: \begin{cases}
				x = 2 + t,\\
				y = -1 + 2t,\\
				z = 1 + t
			\end{cases},
		\end{align*}
		之间的距离为\kuo.

		\fourch{$\frac{2}{3}$}{$\frac{2}{3}\sqrt{3}$}{$1$}{$2$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		与直线 $L_{1}: \begin{cases}
			x = 1,\\
			y = -2 + t,\\
			z = 1 + t
		\end{cases}$ 及直线
		\[
			L_{2}: \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1}
		\]
		都平行，且过原点的平面 $\pi$ 的方程为\kuo.

		\twoch{$x + y + z = 0$}{$x - y + z = 0$}{$x + y - z = 0$}{$x - y + z + 2 = 0$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		直线 $L: \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$ 与平面 $\pi: x - y + 2z + 4 = 0$ 的夹角为\kuo.

		\fourch{$\pi$}{$\frac{\pi}{3}$}{$\frac{\pi}{6}$}{$\frac{\pi}{2}$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知等边三角形 $\triangle ABC$ 的边长为 $1$，且 $\overrightarrow{BC} = \bm a$，$\overrightarrow{CA} = \bm b$，$\overrightarrow{AB} = \bm c$，则 $\bm a \cdot \bm b + \bm b \cdot \bm c + \bm c \cdot \bm a = $\kuo.

		\fourch{$\frac{1}{2}$}{$\frac{2}{3}$}{$-\frac{1}{2}$}{$-\frac{3}{2}$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设直线 $L$ 为 $\begin{cases}
			x + 3y + 2z + 1 = 0,\\
			2x - y - 10z + 3 = 0,
		\end{cases}$ 平面 $\pi$ 为 $4x - 2y + z - 2 = 0$，则\kuo.

		\twoch{$L$ 平行于 $\pi$}{$L$ 在 $\pi$ 上}{$L$ 垂直于 $\pi$}{$L$ 与 $\pi$ 相交但不垂直}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\bm a$ 与 $\bm b$ 为非零向量，则 $\bm a \times \bm b = \bm 0$ 是\kuo.

		\onech{$\bm a = \bm b$ 的充要条件}{$\bm a \perp \bm b$ 的充要条件}{$\bm a \parallel \bm b$ 的充要条件}{$\bm a \parallel \bm b$ 的必要但不充分条件}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\bm c = \alpha \bm a + \beta \bm b$，$\bm a, \bm b$ 为非零向量，且 $\bm a$ 与 $\bm b$ 不平行. 若这些向量起点相同，且 $\bm a, \bm b, \bm c$ 的终点在同一直线上，则必有\kuo.

		\twoch{$\alpha \beta \geq 0$}{$\alpha \beta \leq 0$}{$\alpha + \beta = 1$}{$\alpha^{2} + \beta^{2} = 1$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设有直线
		\[
			L_{1}: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 5}{-2} = \frac{z + 8}{1}
		\]
		与 $L_{2}: \begin{cases}
			x - y = 6,\\
			2y + z = 3,
		\end{cases}$ 则 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的夹角为\kuo.

		\fourch{$\frac{\pi}{3}$}{$\frac{\pi}{6}$}{$\frac{\pi}{4}$}{$\frac{\pi}{2}$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		曲线 $S: \begin{cases}
			x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2,\\
			x + y + z = 0
		\end{cases}$ 在点 $(1,-1,0)$ 处的切线方程为\kuo.

		\twoch{$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1}$}{$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}$}{$\frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1}$}{$\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-2}$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		曲面 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} + z^{\frac{2}{3}} = 4$ 上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为\kuo.

		\fourch{$48$}{$64$}{$36$}{$16$}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		以下 $4$ 个平面方程：\libcirc{1}$7x + 5y + 2z + 10 = 0$，\libcirc{2}$-7x - 5y + 2z - 10 = 0$，\libcirc{3}$7x - y + 14z + 26 = 0$，\libcirc{4}$x - 7y + 14z - 26 = 0$，是平面 $x + 2y - 2z + 6 = 0$ 和平面 $4x - y + 8z - 8 = 0$ 的交角的平分面方程的是\kuo.

		\fourch{\circled{1}\circled{2}}{\circled{2}\circled{3}}{\circled{2}\circled{4}}{\circled{1}\circled{4}}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知 $|\bm a| = 2$，$|\bm b| = 2$，$(\widehat{\bm a, \bm b}) = \frac{\uppi}{3}$，则 $\bm u = 2 \bm a - 3 \bm b$ 的模 $|\bm u| = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\bm A = 2 \bm a + \bm b$，$\bm B = k \bm a + \bm b$，其中 $|\bm a| = 1$，$|\bm b| = 2$，且 $\bm a \perp \bm b$. 若 $\bm A \perp \bm B$，则 $k = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		点 $(-1,2,0)$ 在平面 $x + 2y - z + 1 = 0$ 上的投影为\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		点 $(1,2,1)$ 到平面 $x + 2y + 2z - 13 = 0$ 的距离是
		
		\noindent\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		过三点 $A(1,1,-1), B(-2,-2,2)$ 和 $C(1,-1,2)$ 的平面方程是\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		$xOz$ 坐标面上的抛物线 $z^{2} = x - 2$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转抛物面的方程是\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\bm a, \bm b, \bm c$ 的模 $|\bm a| = |\bm b| = |\bm c| = 2$，且满足 $\bm a + \bm b + \bm c = \bm 0$，则 $\bm a \cdot \bm b + \bm b \cdot \bm c + \bm c \cdot \bm a = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		经过点 $A(1,0,0)$ 与点 $B(0,1,1)$ 的直线绕 $z$ 轴旋转一周生成的曲面方程是\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知直线
		\[
			L_{1}: \begin{cases}
				x + y = 0,\\
				2y + z + 1 = 0
			\end{cases}
		\]
		和
		\[
			L_{2}: \begin{cases}
				x = 1 - t,\\
				y = -1 + 2t,\\
				z = 1 + t,
			\end{cases}
		\]
		则过直线 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 的平面是\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		过直线 $\begin{cases}
			x = 1 + t,\\
			y = 1 + 2t,\\
			z = 1 + 3t
		\end{cases}$ 且和点 $(2,2,2)$ 的距离为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 的平面方程是\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		曲面 $z - \ee^{z} + 2xy = 3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面方程为\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		点 $(1,2,3)$ 到直线 $\frac{x}{1} = \frac{y - 4}{-3} = \frac{z - 3}{-2}$ 的距离为\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\bm a = 3 \bm i + 4 \bm k$，$\bm b = - \bm i + 2 \bm j - 2 \bm k$，求与向量 $\bm a$ 和 $\bm b$ 均垂直的单位向量.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求到平面 $2x - 3y + 6z - 4 = 0$ 和平面 $12x - 15y + 16z - 1 = 0$ 距离相等的点的轨迹方程.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求过两点 $A(0,1,0), B(-1,2,1)$ 且与直线
		\[
			\begin{cases}
				x = -2 + t,\\
				y = 1 - 4t,\\
				z = 2 + 3t
			\end{cases}
		\]
		平行的平面方程.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求直线 $L: \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{3} = z + 1$ 绕直线
		\[
			L_{1}: \begin{cases}
				x = 2,\\
				y = 3
			\end{cases}
		\]
		旋转一周所成的曲面方程.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		确定下列直线与平面的位置关系(垂直、平行、在平面上)：
		\begin{enumerate}
			\item $L: \begin{cases}
				x - y + 2z - 3 = 0,\\
				x = y,
			\end{cases} \pi: x + y - 6 = 0$;
			\item $L: \begin{cases}
				x + 2y - 3z -4 = 0,\\
				-2x + 6y - 3 = 0,
			\end{cases} \pi: 2x - y - 3z + 7 = 0$;
			\item $L: \frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 2}{2}, \pi: 2x - y + z + 1 = 0$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求经过直线 $L: \frac{x - 6}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{2z - 1}{-2}$ 且与椭球面 $S: x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 21$ 相切的切平面方程.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设有空间直线 $l: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{-1}$ 和平面 $\pi: x - y + 2z - 1 = 0$，求
		\begin{enumerate}
			\item 直线 $l$ 在平面 $\pi$ 上的投影直线 $l_{0}$ 的方程;
			\item 投影直线 $l_{0}$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转曲面方程 $F(x,y,z) = 0$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设有直线
		\[
			L: \begin{cases}
				2x + y = 0,\\
				4x + 2y + 3z = 6
			\end{cases}
		\]
		和曲线
		\[
			C: \begin{cases}
				x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6,\\
				x + y + z = 0.
			\end{cases}
		\]
		\begin{enumerate}
			\item 求曲线 $C$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线和法平面方程;
			\item 求通过直线 $L$ 且与平面 $x - z = 0$ 垂直的平面方程.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求过点 $(1,2,3)$ 且与曲面 $z = x + (y - z)^{3}$ 的所有切平面皆垂直的平面方程.
	\end{ti}